Diversas áreas de las ingenierías, las ciencias naturales y exactas se resuelven a través de expresiones matemáticas, las cuales es común que para describir los dispositivos tecnológicos o fenómenos de la naturaleza lleven ecuaciones derivadas e integrales.

Para hablar de este tema, los doctores Leovildo Diago Cisneros y Guillermo Fernández Anaya, académicos de la Universidad de La Habana (Cuba) y de la Universidad Iberoamericana Ciudad de México, de manera respectiva, impartieron la conferencia ‘Ecuaciones diferenciales fraccionarias y sus aplicaciones en física e ingeniería’; organizada por el Departamento de Física y Matemáticas de la IBERO.

En su ponencia, el Dr. 'Leo' Diago explicó que las ecuaciones diferenciales son “una extensión de las ecuaciones de orden entero; por tanto, pudiera decirse que las ecuaciones diferenciales de orden entero a las cuales estamos más habituados pueden obtenerse como un caso límite de las de orden fraccional”.

El índice de las derivadas, o el índice de las magnitudes en el término de la integración, es un número entero; esto es: 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente. “Lo nuevo a lo cual se está haciendo referencia es que ahora ese índice no sea un entero, sino sea un número real: 0.1, 0.2, 0.68, etcétera”.

La utilidad de esto último es que “hay problemas de la tecnología y problemas en el área de las ciencias naturales y exactas que al parecer están encontrando mejor respuesta cuando esas ecuaciones que se describen con derivadas e integrales, en lugar de tener el índice de la derivada o de la integral un número entero, es un número fraccional”.

En su presentación, Diago, físico-matemático graduado en Rusia, mostró una tabla de los distintos tipos de derivadas fraccionales que se reconocen, y cómo ellas cumplen o no un conjunto de propiedades básicas. “En aquellos casos que no cumplen algunas propiedades básicas no significa que esa forma de hallar una derivada de orden fraccional hay que desecharla completamente, debido a que pueden existir problemas que para su tratamiento necesiten el no cumplimiento de alguna propiedad básica”.

“Voy a poner un ejemplo simple. El que los coches puedan trasladarnos de un lugar a otro es porque existe una fricción dinámica entre sus ruedas y el pavimento. Supuestamente lo ideal es que no existiera fricción, porque ésta produce cosas negativas, como el desgaste de las llantas y del pavimento. Pero gracias a que hay una fricción entre los puntos de contacto de las ruedas y el pavimento el coche avanza. Si no existiera fricción la rueda rotaría eternamente en el mismo punto y el coche no avanzaría”.

“Por tanto la fricción es en algunos casos un fenómeno negativo, pero en otros casos es necesario. Este es un ejemplo para generalizar lo que decía, que a veces el no cumplimiento de una propiedad básica tiene utilidad”.

—¿Esto significa que en las leyes de la física no hay nada acabado, que se les pueden encontrar después posteriores usos?

—Exactamente, ese fue un comentario muy oportuno de mi colega el doctor Guillermo Fernández Anaya, dado que aquello que en este momento todavía no avizoramos para qué puede servir, es altamente probable de que pueda llegar un contexto en que encontremos esa utilidad. De eso está llena la historiografía de las ciencias.

—Volviendo a las ecuaciones fraccionales, ¿cuáles son los problemas que actualmente los físicos del mundo quieren resolver? 

—Hay un conjunto de problemas en los cuales al parecer las aplicaciones son más evidentes, éstos se encuentran en: la robótica, en el área relacionada con el manejo de drones, que es a lo que se conoce como sistemas multiagentes; la electroquímica, la parte asociada a los procesos de carga y descarga de baterías portátiles; los sistemas de amortiguamiento, de los cuales está llena buena parte de los dispositivos mecánicos, como los de coches, máquinas y herramientas de las industrias; la física de las partículas elementales, en un área que hasta hace poco era exótica, la denominada electrodinámica cuántica.

Estas áreas, a mi modo de ver, según la literatura consultada, son las más prometedoras dado los resultados que se están mostrando. No estoy mencionando áreas donde haya resultados promisorios, sino áreas en las que ya hay resultados reportados en la literatura.

—¿Es por eso que resulta importante que los estudiantes de pregrado y posgrado empiecen a recibir conocimientos sobre el cálculo de orden fraccional?

—Exactamente. Sería de utilidad que en los cursos de pregrado y posgrado los profesores universitarios demos a conocer estos elementos, esta forma de las matemáticas que tiene sus orígenes en 1695, pero que en estos años es cuando se ha visto su aplicación”.

Yo recomiendo el ejercicio de dar a conocer en cursos de pregrado, en materias afines, algunos conocimientos o al menos evidencias de las posibilidades que tiene tanto desde el punto de vista experimental como de la modelación teórica el cálculo de orden fraccional. En la medida en que estemos en carreras asociadas a las problemáticas que he mencionado es útil en semestres tempranos ir relacionando paulatinamente a los estudiantes con el cálculo de orden fraccional. 

No es algo que la academia no haga; la academia intrínsecamente lleva al alumnado los desarrollos que se están teniendo en la ciencia. Va mucho por el hecho de que los maestros estén inmersos en líneas de investigación científicas o que estén actualizados en estos temas. Esto es algo que la academia hace de manera autoconsistente; sólo que en el caso que nos atañe la recomendación es dar a conocer en cursos de posgrado y pregrado los elementos esenciales del cálculo de orden fraccional.

—¿Y qué investigaciones sobre cálculo de orden fraccional están realizando en la IBERO usted y sus colegas, como el Dr. Fernández Anaya?

—Estamos intentando encontrar respuestas a la aplicación de este tipo de cálculo en la mecánica cuántica, con el interés de poder generar nueva fenomenología en los sistemas cuánticos. Cuando digo nueva fenomenología me refiero a tratar de predecir fenómenos que no es posible predecir utilizando el cálculo de orden entero.

La otra arista que se está desarrollando en el grupo al cual yo me integro como colaborador, y como líder en ciertas áreas, es la de encontrar mejor respuesta a resultados experimentales ya conocidos que los que dan los cálculos de orden entero. Son dos propósitos los que tenemos en la mira: explicar mejor, con un mayor refinamiento, los resultados experimentales respecto de los modelos teóricos de orden entero; y el otro, poder predecir nuevas fenomenologías que no son predecibles dentro del esquema de cálculo de orden entero.

Texto y fotos: PEDRO RENDÓN/ICM